Laboratorio de Lingüística Informática
<cinta 016>
<AEDU016A.ASC>
<8-1-92>
<fuente=televisión>
<localización=Madrid>
<H1=varón matemático, c.40 años>
<términos=cuerpo de revolución, cilindro, cono, esfera, triángulo, círculo, área, superficie, cuerpo geométrico>
<texto>
<H1> Hola, buenos días. Hasta ahora
hemos estudiado aquellos cuerpos geométricos cuyas caras son superficies
planas: el prisma, la pirámide y los poliedros regulares. Hoy vamos
a ver los llamados "cuerpos redondos" o, más precisamente, "cuerpos
de revolución". <música>
<H1> ... No sólo muchos edificios
arquitectónicos utilizan superficies curvas en su estructura y decoración,
sino que gran parte de los objetos que nos rodean tienen esa forma, de
algún modo circular. En la historia de la artesanía, el hombre
fue capaz de producir cuerpos y vasijas circulares más perfectos
cuando se inventó la rueda del alfarero. El soporte que contenía
a la masa de barro giraba mientras las manos y objetos de modelar permanecían
fijos, con lo que al adaptarse el material a ellos adquiría de forma
espontánea la... forma circular. Desde el punto de vista matemático,
también es más sencillo estudiar los cuerpos redondos como
engendrados o generados por una superficie plana que gira alrededor de
un eje. Por eso reciben el nombre genérico de "cuerpos de revolución".
Todos ellos se caracterizan, entonces, por tener lo que se llama "simetría
rotacional", es decir, tienen un eje central de simetría de forma
que si no hay ningún punto de referencia en el objeto, las distintas
posiciones que adquiere al girar alrededor de ese eje son indistinguibles.
Consideren, por ejemplo, un vaso cilíndrico y pónganse un
poco lejos para borrar los detalles. A menos que nos vean hacerlo, no podrán
distinguir si lo hemos girado o no. <silencio> Vamos, pues, a empezar
nuestro estudio con la superficie cilíndrica. Como siempre, primero
definiremos lo que es. Luego, determinaremos sus elementos principales
y, por último, hallaremos fórmulas para sus áreas
lateral y total. Si se hace girar un rectángulo una vuelta completa,
trescientos sesenta grados, alrededor de uno de sus lados que tomamos como
eje, el lado opuesto, llamado "generatriz", engendra una superficie de
revolución limitada que se llama "superficie cilíndrica".
Al mismo tiempo, los otros dos lados erre ("r") determinan al girar una
superficie circular cada uno. El espacio limitado por las superficies cilíndricas
y circulares es un cuerpo de revolución que llamamos "cilindro".
Distinguimos este cilindro de revolución o "cilindro recto" del
llamado "cilindro oblicuo", de bases también circulares, pero cuya
generatriz no es perpendicular a ellas. El cilindro oblicuo no es un cuerpo
de revolución. (En) un cilindro distinguimos los siguientes elementos:
- generatriz. Es el lado que engendra la superficie cilíndrica.
- bases. las superficies circulares que generan los lados "erre" ("r"),
que ahora son sus... radios. - la altura del cilindro es la distancia perpendicular
que hay entre las dos bases. Si el cilindro es recto, coincide con la longitud
de la generatriz, no así en un cilindro oblicuo.
<H2> Ah! Ahora s<palabra
cortada>... Ay! Pero, no... no hay manera, que no hay quien
lo deje esto redondo...
<H1> Al cortar un cilindro recto por la generatriz
y por las circunferencias de sus bases, obtenemos su desarrollo plano.
En el caso de un cilindro recto, consiste en un rectángulo y las
dos circunferencias de las bases. El área lateral es el área
de ese rectángulo a be ce de (a b c d), cuyas dimensiones son la
circunferencia de las bases del cilindro, que vale dos pi erre (2Ò
r) y su altura, que coincide con la generatriz. El área lateral
valdrá entonces dos pi erre (2Òr) por la generatriz. (Para)
hallar el área total, habrá que sumar al área lateral
el área de los círculos de las bases. Recuerden que el área
del círculo es pi erre al cuadrado (Òr2), por lo que el área
total será entonces dos pi erre ge (2Òrg), del área
lateral más dos veces pi erre al cuadrado (Òr2). Vamos a
aplicar estas fórmulas a unos problemas. Supongamos una lata de
melocotón, que es un objeto cilíndrico. Mide once coma cinco
(11,5) centímetros de alto y el diámetro de sus bases mide
diez centímetros. La superficie cilíndrica está recubierta
por la etiqueta. Hallar la superficie que ocupa la etiqueta y la cantidad
de hojalata necesaria para hacer un bote. <silencio> Obviamente,
el tamaño de la etiqueta es el área lateral y la cantidad
de hojalata, el área total. El radio de la base es la mitad del
diámetro, o sea, cinco centímetros. La generatriz es la altura:
once coma cinco (11,5) centímetros. El área lateral será
entonces dos pi erre por ge (2Òr.g), o sea, operando, treinta y...
trescientos sesenta y uno coma uno (361,1) centímetros cuadrados.
El área de cada base será pi erre cuadrado (Òr2),
o sea, tres catorce por cinco al cuadrado (3,14.52), que efectuado da setenta
y ocho coma cinco (78,5) centímetros cuadrados. El área total
será entonces trescientos sesenta y uno coma uno más dos
veces setenta y ocho coma cinco (361,1+(2.78,5)), es decir, quinientos
dieciocho coma uno (518,1) centímetros cuadrados. Concluímos
que la superficie de la etiqueta es trescientos sesenta y uno coma uno
(361,1) centímetros cuadrados y que necesitan cincuenta y o<palabra
cortada>... quinientos dieciocho coma uno (518,1) de hojalata para fabricar
el bote. Otro ejemplo: si se quiere revestir un pozo de cemento, ¿cuál
será la superficie a cubrir si el pozo tiene unas dimensiones de
doce con cuarenta y cinco (12,45) metros de profundidad y uno con sesenta
y cuatro (1,64) metros de diámetro. Lógicamente, aquí
habrá... habrá que calcular el área lateral y añadir
la de sólo una base, el fondo. Con los datos del problema, el área
lateral será dos por tres catorce por cero con ochenta y dos por
doce con cuarenta y cinco (2.(3,14).(0,82).(12,45)), que da sesenta y cuatro
con catorce (64,14) metros cuadrados. El área del fondo es pi erre
al cuadrado (Òr2), o sea, tres catorce por cero con ochenta y dos
al cuadrado (3,14.(0,82)2), que efectuado da luego la superficie a recubrir
con cemento. Es la suma de sesenta y cuatro con catorce (64,14) y dos con
once (2,11), es decir, sesenta y seis con ve<(i)>nticinco (66,25)
metros cuadrados. <texto no transcrito> (...)
<H1> La siguiente superficie de revolución
que vamos a considerar es la superficie cónica. Cono de revolución
es el cuerpo engendrado por la revolución completa de un triángulo
equilátero alrededor de uno de sus catetos. El cateto en cuyo derredor
se da el triángulo rectángulo es a la vez el eje y la altura
del cono. La hipotenusa es la generatriz del cono. Engendra la superficie
lateral del mismo o superficie cónica. El otro cateto del triángulo
generador es el radio del cono y engendra el círculo que sirve de
base. <ininteligible> figura tienen situados los distintos elementos
del cono: el vértice, el eje, la altura, la generatriz, la base
y el radio. Igual que una circunferencia podría considerarse como
un polígono de infinitos lados, también el cono puede considerarse
como una pirámide regular de infinito número de caras cuya
base es un círculo. También, aunque no es un cuerpo de revolución,
podemos considerar el caso en el que la altura no coincide con el eje,
que nos determina el llamado cono oblicuo. Cuando coincide, es decir, cuando
la altura une el vértice con el centro de la base, el cono es recto.
Como siempre, el desarrollo del cono se obtiene cortando el cono por la
generatriz y por la circunferencia de la base. Se obtiene un sector circular
de radio igual a la generatriz del cono y arco igual a la longitud de la
circunferencia de la base. Para hallar la fórmula del área
lateral, es mejor, sin embargo, partir del desarrollo de la pirámide
y considerar que el numero de caras se hace infinito. el perímetro
tiende a la longitud de la circunferencia de la base y la apotema se confunde
con la generatriz. Como el área lateral de la pirámide es
perímetro por apotema partido por dos, al trasladar las magnitudes
al cono, se obtiene dos pi erre (2Òr), que es el equivalente al
perímetro, por ge (g), el equivalente a la apotema, partido por
dos. Y al simplificar los doses, llegamos a la fórmula final de
pi erre ge (Òrg). Lógicamente, para hallar el área
total habrá que añadir al área el área de la
base, que es pi erre al cuadrado (Òr2). La fórmula final
es: área total igual a pi erre ge más pi erre cuadrado (Òrg
+ Òr2) Podemos practicar con un problema. Supongamos una hormigonera
de forma cónica con las dimensiones que se indican en la figura.
Calcular la cantidad de acero necesaria para construirla. Lo que nos piden
es el área total, porque consideramos la hormigonera cerrada. Aplicando
las fórmulas anteriores y sustituyendo los datos, teniendo en cuenta
que el radio es la mitad del diámetro, o sea, cero coma nueve (0,9)
metros, se obtiene que el área total es: tres catorce por cero nueve
por seis con cinco... ((3,14).(0,9).(6,5)), eso por lo correspondiente
al área lateral, más tres catorce por cero nueve al cuadrado...
+((3,14).(0,9)2), lo correspondiente al área de la base, que operado
da un resultado de veinte con nueve mil ciento ve<(i)>nticuatro...
(20,9124) de mile<palabra cortada>... de metros cuadrados, casi ve<(i)>ntiuno,
aproximando los decimales. Es necesario hacer otro problema para fijar
ideas. Vamos a hacer uno que combine la superficie del cilindro y la superficie
del cono. Supongamos que una torre de mezquita consiste en un cilindro
de veinte metros de altura rematado en un cono. La altura total de la torre
es de ve<(i)>nticuatro metros y su diámetro, cinco metros.
Queremos calcular cuánto vale su superficie. <ininteligible>
en este problema sólo hay que calcular el área lateral, pues
las bases son irrelevantes. La figura consta de una superficie cilíndrica
y de una superficie cónica. El área lateral del cilindro
era dos pi erre por ge (2Òr.g). Nos dan el diámetro, cinco
metros, luego el radio es la mitad, dos metros y medio. La generatriz coincide
con la altura del cilindro, ve<(i)>nte metros de altura. Luego,
sustituyendo, el área lateral del cilindro será dos por pi
por dos con cinco por veinte, ((2Ò).(2,5).(20)), o sea, dos por
tres catorce por dos con cinco con veinte (2.(3,14).(2,5).20), igual a
trescientos catorce metros cuadrados. El área lateral del cono es
pi erre por ge (Òr.g). El radio coincide con el del cilindro, dos
metros y medio. Sin embargo, a la hora de calcular la generatriz nos encontramos
con un problema. La generatriz sería la hipotenusa del triángulo
rectángulo que genera el cono al girar alrededor del eje. Pero no...
lo que nosotros conocemos es la altura y el radio, es decir, los otros
dos catetos. La altura, porque la altura total es ve<(i)>nticuatro
menos veinte del cilindro, cuatro metros; y el radio, dos metros y medio.
¿Cómo podemos, entonces, calcular la generatriz, es decir,
la hipotenusa de ese triángulo rectángulo? Para ello usamos
el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras, que no
hemos nombrado hasta ahora, pero que, sin embargo, es imprescindible que
ustedes conozcan. No se puede hacer un curso de geometría sin haber
al menos aplicado alguna vez el teorema de Pitágoras, que dice lo
siguiente: "En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al
cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos". En este
caso, lo que conocemos son justamente la medida de los catetos. Si los
elevamos al cuadrado y sumamos obtendremos la hipotenusa al cuadrado. Cuatro
al cuadrado, o sea, dieciséis, más dos coma cinco al cuadrado,
que es seis con ve<(i)>nticinco, nos da ve<(i)>ntidós
con ve<(i)>nticinco (22,25). Esto es la hipotenusa al cuadrado.
Luego la hipotenusa valdrá su raíz cuadrada, que es cuatro
con setenta y cuatro (4,74) centímetros. Ahora ya podemos sustituir
en la fórmula del cono, pi erre ge (Òrg). Pi, tres catorce;
radio, dos con cinco; generatriz, cuatro con setenta y cuatro metros...
Operando obtenemos treinta y siete con ve<(i)>ntiún (37,21)
metros cuadrados. Tomando, entonces, la superficie lateral del cilindro
y la del cono, es decir, calculando trescientos catorce más treinta
y siete con ve<(i)>ntiuno (314+(37,21)), obtenemos finalmente
trescientos cincuenta y uno con ve<(i)>ntiún (351,21) metros
cuadrados. El tercer cuerpo de revolución que vamos a estudiar es
la esfera. La esfera es el cuerpo limitado por una superficie esférica.
Podemos considerar a la superficie esférica desde otros puntos de
vista. En sí misma, como el conjunto de puntos del espacio que verifica
la propiedad de equidistar de un punto fijo interior llamado centro. Esta
definición es una generalización de la de la circunferencia.
Pero también podemos considerar la superficie esférica como
una superficie de revolución, la engendrada por la revolución
completa de una semicircunferencia alrededor de su diámetro. En
ese caso, el diámetro alrededor del cual gira la semicircunferencia
se llama "eje de la esfera" y sus extremos, "polos". Evidentemente, la
simetría rotacional de la esfera es total. Eso quiere decir que
no tiene un único eje de simetría, como los cuerpos de revolución
anteriores. Cualquier recta que pase por el centro de la esfera puede actuar
como eje de simetría y, por tanto, como eje de giro. Los puntos
de corte de ese eje o... o diámetro con la superficie determinarán
dos puntos opuestos llamados polos. Toda sección plana de una esfera
es un círculo. Por sección plana se entiende la intersección
de la esfera con un plano que la corte. Cuando éste pasa por el
centro de la esfera, se obtiene un círculo máximo. Circunferencias
máximas sobre la superficie esférica de la Tierra son los
llamados "meridianos" y el ecuador. Si el pleno de corte no pasa por el
centro, se obtiene un círculo menor. Son los llamados "paralelos".
El área de la superficie esférica no es tan inmediata de...
de deducir como las del cilindro y el cono. El modo de hacerlo es por aproximaciones
sucesivas, como ya hicimos al calcular la longitud de la circunferencia.
Se aproxima el semicírculo generador por una línea poligonal.
Se calcula la superficie engendrada por ella al girar y luego se hace tender
a infinito el número de sus segmentos constitutivos. La fórmula
que se obtiene es la siguiente: área de la superficie esférica
igual a: cuatro pi erre elevado al cuadrado (4Òr2). Es decir, que
es el equivalente al área de cuatro círculos máximos
de la esfera. Vamos a ver ahora un cuadro resumen de las áreas de
los cuerpos geométricos que hemos visto hasta ahora. Tenemos primero
el cubo. Su área lateral es cuatro veces el lado la cuadrado y el
área total, seis veces el lado al cuadrado. En el prisma recto el
área lateral es perímetro por altura y el área de
la base es perímetro por apotema partido por dos. "Pes" significa
perímetro; recuerden que es ene (n) veces el lado, siendo ene el
número de lados del polígono. La apotema es la distancia
desde el centro del polígono a la mitad del lado. El área
total es, luego, el área lateral más dos veces el área
de la base. En la pirámide regular tenemos: área lateral
igual a perímetro por apotema de la pirámide partido por
dos. La apotema de la pirámide, la tienen en la figura, es la altura
de... el triángulo de las caras laterales. El área de la
base es perímetro por apotema de la base partido por dos; ya hemos
definido antes lo que es la apotema de la base. Y la altura to<palabra
cortada>... del área total será igual al área lateral
más el área de la base. En el caso del cilindro, el área
lateral es dos pi erre por ge (Òr.g), siendo ge (g) la generatriz,
que coincide con la altura en el caso de <ininteligible> recto. Y
el área de la base es pi erre cuadrado (Òr2). El área
total será, por tanto, la suma de las dos, o sea, dos pi erre ge
más dos pi erre cuadrado ((2Òrg)+(2Òr2)) En el cono,
el área lateral es pi erre ge (Òrg), siendo ge (g) la generatriz,
la hipotenusa del triángulo rectángulo que genera con su
giro el cono. El área de la base es pi erre cuadrado (Òr2).
Y el área total, la suma de las dos: pi erre ge más pi erre
cuadrado(Òrg + Òr2). Por último, la esfera, el área
es cuatro pi erre cuadrado (4Òr2), es decir, cuatro veces pi erre
cuadrado (Òr2), que es el área de uno de sus círculos
máximos. Y esto ha sido todo por hoy. Si recapitulan, se darán
cuenta de la cantidad de cosas que han aprendido y que saben ya. Estamos
cerca del final. Nos queda por ver el volumen de los cuerpos geométricos.
Pero como ya nos suena todo, no les resultarán difíciles
de aprender. Animo y hasta el próximo día. <texto no
transcrito>
</texto>
